Предлагаю вашему вниманию разминку для мозга:

image

52 Responses to Предлагаю вашему вниманию разминку для мозга:

  1. Odaam:

    h,w,m обозначены — или просто набор 3 точек?

  2. TosNo:

    очень простая задача, в уме решил

  3. Akhef:

    : Обозначены.

  4. Amtodin:

    хм.

    1. Найти окружность

    1.1. Найти перпендикуляр к середине отрезка HM, так как HM — это хорда, и перпендикуляр к её середине будет проходить через центр окружности
    1.1.1. Проводим окружность любого радиуса с центром в точке H
    1.1.2. Проводим окружность этого же радиуса с центром в точке M
    1.1.3. Соединяем точки пересечения окружностей максимально длинной прямой

    1.2. Найти перпендикуляр к середине отрезка HW
    1.2.1. Проводим окружность любого радиуса с центром в точке H
    1.2.2. Проводим окружность этого же радиуса с центром в точке W
    1.2.3. Соединяем точки пересечения окружностей максимально длинной прямой

    1.3. Точка О — пересечение прямых 1.1 и 1.2 — есть центр

    1.4. Нарисовать окружность с центром в найденной точке O и радиусом OH = OW = OM

    Что делать дальше, не придумывается что-то.

  5. AwuSnow:

    Треугольник MWH отображается в ABC и наоборот при вот этой безумной трансформации с окружностью и тремя «ме».

  6. Odaam:

    : Это-то просто…Но что такое «максимально длинная прямая»? Или вы их с завода получаете заранее отрезанными?

  7. Amtodin:

    : я не привык пользоваться бесконечными линейками, извините 🙂

  8. Amtodin:

    : доказательства?

  9. Amtodin:

    : точка W не понадобилась почему-то. Кажется, вместо неё можно использовать любую точку окружности.

  10. Amtodin:

    Дык:

    2. BH тоже есть хорда, а значит, точка B находится простым пересечением окружности с дугой, проведённой с центром в точке О, с радиусом OH. Итак, у нас есть точка B.

    3. Проведём любую прямую, перпендикулярную отрезку BH. Опустим из точки О перпендикуляр на эту прямую и дополним этот перпендикуляр до диаметра окружности. Мы получим диаметр, параллельный отрезку BH.

    4. Проведём BM и найдём точку его пересечения с диаметром из п.3. Это будет точка К, точка пересечения медианы и AC.

    5. Проведём перпендикуляр к диаметру из точки К, до пересечения с окружностью. А это будут точки А и С.

    Треугольник ABC построен.

  11. Odaam:

    : 2. AH, CH тоже хорды.
    далее не читал

  12. Amtodin:

    : да, но к точкам А и С не идёт медианы, поэтому те хорды бесполезны

  13. Odaam:

    : блин
    1.4. Нарисовать окружность с центром в найденной точке O и радиусом OH = OW = OM
    против
    2. (…) точка B находится простым пересечением окружности с дугой, проведённой с центром в точке О, с радиусом OH..
    Так что с чем пересекается?

  14. Amtodin:

    : чёрт! я лошара 🙁
    блин

  15. supef:

    По-моему, тут надо использовать какое-то правило для вписанных 4-угольников. Пропорция сторон или что-то ещё.

  16. supef:

    : H, M и W — разные точки, поэтому AB<>BC. Более того, т.к. Н слева, а М справа, то AB < BC. Иначе, если построить B’ такую, что AB’=BC и B’C=AB, то опущенные из B’ медиана и высота при пересечении с окружностью дали бы точки Н’ и М’, причём Н’ оказалась бы правее. Из этого можон сделать вывод, что точка B находится на дуге ближе к Н, чем к М. Т.е. половину окружности для неё уже можно отсечь.

  17. Odaam:

    если я проведу диаметр из W, не будет ли он параллелен ВН?

  18. RumTunes:

    : да, дуги AW и BW равны. Диаметр OW параллелен высоте. То есть проводим диаметр OW, проводим высоту через H, находим B.
    Этот же диаметр проходит через середину AC. проводим MB, на пересечении МВ и диаметра OW проводим перпендикуляр к OW -> это AC.

  19. Odaam:

    : только дуги AW и CW

  20. supef:

    : «Этот же диаметр проходит через середину AC» — это откуда следует?

  21. RumTunes:

    : опечатался

  22. RumTunes:

    хорошее построение решает большую часть задачи 🙂

    наука на научном форуме  500x500, 24.11 kb

  23. RumTunes:

    : из равенства дуг

  24. AwuSnow:

    : Я, скорее, спрашиваю. Это, как мне кажется интуитивно, должно так сложиться.

  25. Amtodin:

    : блин, так совсем всё просто 🙂

  26. Nodmo:

    : а откуда следует равенство дуг?

  27. RumTunes:

    : биссектриса и равные углы

  28. RumTunes:

    сейчас посмотрел на картинку и стало интересно, есть ли такой треугольник, который переходит в равный себе?

  29. Muioff:

    а можно ли по двум точкам?

  30. Odaam:

    : очевидно нет

  31. Nodmo:

    : по двум даже окружность не восстановить

  32. Oinam:

    (на ответ дается одна секунда)
    а что, если точки M, W и Н слились в одну?
    (кто-то может и про…ать)

  33. Akhef:

    : Значит, ты столкнулся с равносторонним треугольником.

  34. Oinam:

    : 😉
    (первый же и про…ал)

  35. Oinam:

    :
    1) строим окружность — О
    2) выбираем вершину — В
    3) из В рисуем две равные дуги ВН и ВМ — Н и М
    4) через О проводим диаметр, параллельный высоте ВН — W
    5) из W строим две дуги AW и CW, равные дугам ВН и ВМ — А и С
    6) fin

  36. Oinam:

    : сорри, в п.4 сначала надо выбрать, кто будет высотой — ВН или ВМ 😉

  37. Odaam:

    : равнобедренного хватит

  38. supef:

    : не обязательно. Только если В является общей вершиной одинаковых сторон. Иначе точки всё равно разные.

  39. RumTunes:

    : а чем докажешь, что получишь AC, которое окажется перпендикулярным BH и OW?

  40. RumTunes:

    : а, туплю. Но BM медианой не будет.

  41. Oinam:

    : угу. например, если выбрать ВМ достаточно большой, то треугольники пересекутся, и ВМ будет просто какой-то торчащей во вне фигней.
    поэтому:
    а) такой треугольник существует. и он один.
    б) в пункте 3 ВМ можно выбрать только двумя способами.

  42. RumTunes:

    : надо углы считать

  43. VokSpb:

    Для начала, мы можем найти центр окружности. Окружность, описанная вокруг треугольников ABC и HWM — одна и та же.

    С помощью циркуля и линейки довольно просто провести срединные перпендикуляры, точка их пересечения и будет искомым центром окружности.

  44. VokSpb:

    : центр описанной вокруг треугольников ABC и HWM окружностей найти еще проще — достаточно построить срединные перпендикуляры к двум любым из отрезков HW, WM, MH, точка их пересечения и будет центром искомой окружности.

  45. Odaam:

    : Позволю себе заметить, но я вижу некое сходство между
    1.1. Найти перпендикуляр к середине отрезка HM,
    1.2. Найти перпендикуляр к середине отрезка HW
    1.3. Точка О — пересечение прямых 1.1 и 1.2 — есть центр (окружности)

    и вашим
    построить срединные перпендикуляры к двум любым из отрезков HW, WM, MH, точка их пересечения и будет центром искомой окружности.

  46. VokSpb:

    Теперь, имея точку O, рассмотрим некоторые свойства получающихся фигур, которые потом потребуются нам при восстановлении треугольника.

    Мы можем построить отрезки OA, OC и OW, а также четырехугольник OAWC, который будет являться выпуклым ромбоидом, потому что:

    1) WA = WC, так как это хорды, на которые опираются равные углы WBA и WBC, которые равны, так как по условиям задачи BW — биссектриса угла ABC.

    2) OA = OC, так как это радиусы одной и той же окружности, так как точка O — ее центр, а все прочие точки лежат на этой окружности по условиям задачи.

    Поскольку OAWC — выпуклый ромбоид, то имеем следующее:

    1) Радиус OW пересекает хорду AC под прямым углом.

    2) Радиус OW пересекает хорду AC, деля ее пополам. А пополам отрезок AC делит, как раз, медиана BW из условий задачи. То есть, Точка пересечения диагоналей этого выпуклого ромбоида будет одновременно и точкой пересечения медианой BW стороны треугольника AC.

    Для удобства продолжим радиус OW, назовем точку пересечения с окружностью точкой X.

    Хорда BH будет параллельна диаметру XW, поскольку обе пересекают прямую AC под одним и тем же (прямым) углом. Дуги, заключенные между параллельными хордами OW и BH, равны. И эти дуги стягиваются равными же хордами XB и WH.

    Теперь мы имеем необходимые знания о свойствах и соотношениях фигур, образуемых данными в условиях точками и отрезками.

  47. VokSpb:

    Теперь собственно построение:

    1. Построить срединные перпендикуляры к любым из двух отрезков HW, HM, WM.

    2. Найти точку их пересечения O, которая будет являться центром описанной вокруг треугольников ABC и HWM окружности.

    3. Построить окружность с центром O и радиусом OH = OW = OM.

    4. Построить диаметр, проходящий через точку W и центр O. Найти точку X, противоположную точке W, в которой продолжение радиуса OW второй раз пересекает окружность.

    5. При помощи циркуля взять радиус WH и построить вторую окружность с центром в точке X и радиусом, равным WH. Эта окружность пересечет первую окружность в двух точках. Одна из этих точек, находящаяся по ту же сторону от диаметра XW, что и точка H, будет искомой вершиной B искомого треугольника ABC.

    6. Зная, что BM, OW и AC пересекаются в одной точке (назовем ее точкой Z), делящей отрезок AC пополам, мы можем построить эту точку Z.

    7. Через точку Z проводим прямую, перпендикулярную отрезку OW. Эта прямая пересечет окружность в точках A и C, это и будут оставшиеся вершины искомого треугольника.

  48. VokSpb:

    : ну да, есть определенное сходство 🙂 Я просто дал на выбор три отрезка — на 1/3 больше свободы!

    Я там ниже подробнее все расписал.

  49. VokSpb:

    : оу, нет, на 1/2 больше свободы выбора. Это у него на 1/3 меньше 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.